فایل word مقاله حل عددی معادلات دیفرانسیل

    —         —    

ارتباط با ما     —     لیست پایان‌نامه‌ها

... دانلود ...

بخشی از متن فایل word مقاله حل عددی معادلات دیفرانسیل :

مقدمه
معرفی معادلات دیفرانسیل
معادله در ریاضیات وقتی با اسم خاص و صورت خاص می آید خود به تنهایی مسأله ای را نمایش می دهد که در آن می خواهیم مجهولی را بدست آوریم.

کاربرد معادله دیفرانسیل از نظر تاریخی با معرفی مفهوم های مشتق و انتگرال آغاز گردید. ساده ترین نوع معادله دیفرانسیل آن دسته از معادلاتی هستند که مشتق تابع جواب را داشته باشیم. که چنین محاسبه ای به پاد مشق گیری و انتگرال گیری نامعین موسوم است.
معادلات دیفرانسیل وابستگی بین توابع و مشتق های توابع را نشان می دهد. که از لحاظ تاریخی به طور طبیعی از زمان کشف مشتق به وسیله نیوتن ولایب نیتس آغاز می شود. (قرن هفدهم میلادی). که با رشد سریع علم و صنعت در قرن بیستم روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار گرفتند که توسعه و پیشرفت کامپیوتر ها در پایان قرن بیستم موجب کاربرد روش های تقریبی تعیین جواب معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه های کاربردی گردید که باعث بوجود آمدن مباحث جدید در این زمینه شد.
نمادها و مفاهیم اساسی
اگر تابعی از متغیر حقیقی باشد و ضابطه آن و متغیر تابع یا مقدار تابع باشد, آنگاه مشتق با یکی از نمادهای نمایش داده می شود. همچنین مشتق دوم, سو

م,; و ام آن نیز به ترتیب با نمادهای

نمایش داده می شوند. اگر تابعی از دو متغیر حقیقی باشد آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای نمایش داده می شوند. همچنین اگر آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای و یا
نمایش داده می شوند.
همچنین داریم:

که این توابع مشتقات جزئی مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنین برای توابع متغیر حقیقی داریم:

که فرض می کنیم همه مشتقات جزئی تا مرتبه مورد نظر پیوسته باشند.
حال برای تابع از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی را دیفرانسیل تابع گویند. اگر تابع از متغیر حقیقی باشد.

را دیفرانسیل کامل تابع گویند. که در حالت خاص اگر از دو متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد داریم:

معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزئی
یک معادله دیفرانسیل هر کدام از توابع ضمنی از متغیر یا متغیرهای مستقل, متغیر یا متغیرهای تابع و مشتق های متغیر یا متغیر های تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل می تواند باشد که حتماً باید لا اقل یک مشتق ساده یا جزئی در آن حضور داشته باشد.
معادله دیفرانسیل یک نوع از معادلات دیفرانسیل است که فقط یک متغیر مستقل در آن وجود دارد. و متغیر تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغیر می توانند در معادلات دیفرانسیل نباشند ولی حضور لااقل یک مشتق الزامی است. معادله دیفرانسیل
یک نوع معادله است که شامل متغیر مستقل است و فقط یک متغیر تابع دارد که در آن تابعی از ها است.
برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل می گوییم هرگاه همه مشتق های ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله دیفرانسیل معمولی (یا ساده یا عادی) می نامیم. اما اگر در عبارت معادله لااقل یک مشتق جزئی ظاهر شود آن را یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادله دیفرانسیل نسبی می نامیم.

معادلات دیفرانسیل زیر از جمله معادلات دیفرانسیل مهم هستند:
(معادله خطی غیر همگن)؛
(معادله بزنولی)
(معادله ریکاتی)
(معادله لا پلاس)
(معادله کلرو) غیر خطی؛

(معادله لاگرانژ) غیر خطی؛
(معادله یک بعدی حرارتی) ثابت؛
(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفی؛
(معادله پواسن)
(معادله یک بعدی موج) ثابت؛
(معادله ترافیک)
(معادله لاگرانژ)
(معادله پفافی)
(معادله ارتعاش تیر) ثابت
از معادلات دیفرانسیل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات دیفرانسیل معمولی و بقیه معادلات دیفرانسیل نسبی می باشند.
اگر بخواهیم یک معادله را به صورت دیفرانسیلی بنویسیم می توانیم به جای عبارت را جایگزین کنیم. مثلاً برای معادله به صورت
است.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مرتبه آنها است که مرتبه یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بزرگترین مرتبه مشتق یا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله دیفرانسیل. با توجه به معادلات فوق می بینیم که معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله دیفرانسیل (18) یک معادله مرتبه چهارم است.
وقتی معادلات دیفرانسیل هر کدام دارای بیش از یک متغیر تابع باشند در این صورت معادلات به تنهایی ظاهر نمی شوند و مجموعه ای از آنها مورد استفاده قرار می گیرد که اغلب تعدادشان با تعداد متغیرهای تابع برابر است. این گونه معادلات را دستگاه معادلات دیفرانسیل می نامیم.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مفهوم خطی بودن یا غیر خطی بودن معادلات دیفرانسیل است.
یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی داده شده را یک معادله دیفرانسیل خطی در مجموعه متغیرهای تابعی اش گوئیم هر گاه:
1) متغیر یا متغیرهای تابع از توان یک باشند.
2) متغیر تابع یا متغیرهای تابع و مشتقات, ضریب متغیرهای تابعی و مشتقات آنها نباشند.
3) خود متغیر تابعی غیر خطی نباشد.
در غیر این صورت اگر هر کدام از شرطهای بالا نقص شود معادله دیفرانسیل غیر خطی است از معادلات مهم که ارائه کردیم معادلات (3)و(6)و(9)و(10

) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطی هستند و معادله (4) (به دلیل حضور ) و (5) (به دلیل حضور ), (7) (به دلیل غیر خطی بودن ) و (8) (برای لا اقل غیر خطی بودن )
غیر خطی هستند. معادلات (16) و (17) می توانند خطی یا غیر خطی باشند.
همچنین می توان خطی بودن را نسبت به یک عامل از معادله دیفرانسیل, مانند متغیر تابع یا متغیرهای تابع, یا مشتق از مرتبه مشخصی تعیین نمود.

این گونه معادلات نیمه خطی یا شبه خطی نامیده می شوند. مثلاً معادله
که یک معادله غیر خطی نسبت به متغیر تابع به دلیل حضور و همچنین به علت حضور است را می توان یک معادله خطی نسبت به مشتقات جزئی نامید. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی معمولی به صورت کلی

و معادله مرتبه دوم خطی معمولی نیز به صورت کلی

نمایش داده می شوند. صورت کلی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه ام خطی طولانی و پیچیده است. که در اینجا معادلات مرتبه اول و دوم خطی از آنها را نمایش می دهیم. ولی می توان با کمک از معادلات دیفرانسیل مراتب اول و دوم معادلات مراتب بالاتر را نیز نوشت.
معادله زیر یک صورت عمومی از معادلات با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی از متغیر مستقل با یک متغیر تابع است.

که در آن توابع ضریب و تابع طرف دوم است که اگر , صفر باشد معادله همگن خطی و در غیر این صورت معادله غیر همگن خطی نامیده می شود. معادلات با مشتقات جزئی مرتبه دوم به صورت کلی زیر است:

که در آن

توابع متغیر حقیقی معلوم هستند که به آنها توابع ضریب معادله خطی گویند. تابع متغییر حقیقی معلوم تابع طرف دوم نامیده می شود.
جواب یک معادله دیفرانسیل
یک تابع یا مجموعه ای از توابع (مانند یک تایی مرتب از توابع) را جواب یک معادله دیفرانسیل گوییم هرگاه با قرار دادن تابع یا توابع در عبارت معادله به جای متغیر یا متغیرهای تابع و مشتقات آنها معادله به یک اتحاد بر حسب متغیر یا متغیرهای نابسته تبدیل شود. که در صورت گذاشتن مقدار در آنها این اتحاد برقرار باشد.
جواب یک معادله دیفرانسیل معمولی تابعی از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی یا با مقدار برداری است که اگر متغیر مختلط باشد مقدار نیز مختلط خواهد بود. جواب یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی تابعی از دو یا به طور کلی متغیر اس

ت که مقدار آن حقیقی یا برداری است.
به عنوان مثال تابع جوابی از معادله دیفرانسیل معمولی زیر است:

همچنین جوابی از معادله دیفرانسیل نسبی زیر است:

یک معادله دیفرانسیل می تواند دارای جوابهای گوناگونی باشد. که جوابی را که برای یک معادله دیفرانسیل معمولی در تعدادی شرایط در یک نقطه ی

ا مجموعه ای از نقاط از دامنه تابع جواب صدق می کند و به صورت یگانه ای بدست می آید جواب ویژه یا خصوصی معادله دیفرانسیل است . البته ممکن است دو یا چند جواب در شرایط صدق کنند ولی یکی از آنها جواب خصوصی است .
برای یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه n ام از یک متغیر تابع , تابعی را که با n ثابت دلخواه نا بسته از یکدیگر بر حسب متغیر مستقل و متغیر تابع بیان و همه جوابهای خصوصی معادله با انتخاب هر مقدار مشخصی برای ثابتها از آن بدست می آیند جواب عمومی معادله گویند .
برای یک معادله دیفرانسیل معمومی مرتبه n ام , جواب عمومی به صورت کلی زیر است :

اگر تابع ثابت صفر جوابی از یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی باشد آن را جواب بدیهی معادله می نامیم. مثلاً معادله دارای جواب بدیهی و معادله دارای جواب بدیهی است.
برای تعیین جواب معادلات دیفرانسیل معمولاً روشهایی را بکار می بریم که ممکن است حل یک معادله دیفرانسیل عبارت معادله را با اعمال جبری مجاز تغییر دهیم که با انجام این اعمال ممکن است جوابی از معادله را نادیده انگاشته باشیم که این جواب را جواب حذف شده معادله می نامند.
خانواده جواب های خصوصی در مورد برخی از معادلات مانند معادلات کلرو نیز معمولاً جواب معادله می باشند. که چنین جواب هایی را جواب تکین یا جواب غیر عادی معادله دیفرانسیل می نامند. مثلاً برای معادله
تابع جواب عمومی آن و تابع جواب غیر عادی آن است.
برای یک معادله دیفرانسیل جوابی از آن که همه جواب های معادله را در بر گیرد جواب کامل یا انتگرال کامل معادله می خوانند. که این مفهوم برای معادلات دیفرانسیل خطی غیر همگن به کار برده می شود.
البته هدف ما در این مجموعه حل عددی معادلات دیفرانسیل است و تنها روش های عددی حل معادلات را مورد بررسی قرار می دهیم.
تفسیر هندسی جواب خصوصی و عمومی
می دانیم اگر تابع دو متغیره پیوسته ای روی ناحیه ای از صفحه باشد آنگاه معادله ضمنی
یا دارای هیچ جوابی نیست مانند . یا یک جواب دارد مثل یا نمایش یک منحنی در صفحه است . جواب عمومی معادلات دیفرانسیل معمولی به شکل زیر هستند :

که این معادله نمایش یک منحنی در صفحه است. که این موضوع برای جوابهای عمومی به صورت
نیز قابل بیان است. این منحنی ها به پارامترهای ثابت دلخواه وابسته هستند و خانواده یک پارامتری از منحنی ها را در صفحه نمایش می دهند. به هر یک از اعضای این خانواده منحنی یک منحنی انتگرال یا منحنی جواب معادله می گویند.

همچنین یک جواب خصوصی معادله با منحنی ای مشخص می شود که از یک یا چند نقطه مشخص می گذرد .
جوابهای معادلات دیفرانسیل با بیش از یک متغیر تابع نیز معمولا یک منحنی در فضای و یا به طور کلی در را نمایش می دهند . به عنوان مثال معادله

که در آن نیروی مؤثر بر نقطه مادی توابعی از متغیر می باشند و منحنی های

مسیر متحرکی را نمایش می دهد که دارای شتاب لحظه ای است.
نمودار تابع جواب معادله فوق در فضای قرار دارد .
از نظر هندسی جوابهای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی با توجه به وضعیت وابستگی متغیر تابع به لا اقل دو متغیر , در حالت دو متغیره , یک رویه در است .
شرایط اولیه و شرایط مرزی
تعیین جوابهای خصوصی در معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی همیشه به کمک مجموعه ای از شرایط امکان پذیر است که بر روی جواب اعمال می شود یا در مسائل فیزیکی به عنوان اطلاع به ما داده میشوند که این گونه شرایط به طور کلی به دو دسته تقسیم می شوند:
الف ) شرایط اولیه
ب ) شرایط مرزی ( حدی یا کرانه ای )
شرایط اولیه برای یک معادله دیفرانسیل معمولی , شرایطی بر روی جواب معادله اند که همه در یک نقطه از دامنه تابع جواب داده شده اند. این شرایط برای یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه از یک متغیر تابع به صورت زیر داده می شوند :

که در آن نقطه ای از دامنه تابع جواب مقادیر ثابت داده شده اند. این شرایط برای یک معادله مرتبه اول فقط از شرط اول تشکیل شده است. که حاکی از مختصات نقطه ای از صفحه مانند
است که جواب خصوصی مورد نظر از آن می گذرد .
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم فقط دو شرط اول مورد استفاده قرار می گیرد که حاوی اطلاعاتی در مورد منحنی جواب مورد نظر است که از نقطه می گذرد و در این نقطه دارای ضریب زاویه است.

در مورد معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی آن نسبت به آن متغیر مستقل داده می شوند. شرایط مرزی مجموعه شرایطی بر روی جواب معادله اند که معمولا تعداد آنها حد اقل دو می باشد. به طور کلی شرایطی را که به ازای مقادیری از متغیر مستقل یا متغیرهای مستقل داده می شوند شرایط مرزی می گویند.
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معمولی شکل عمومی شرایط مرزی به صور
که و دو نقطه از دامنه تابع جواب و ثابت های داده شده اند یک شکل ساده شرایط فوق به صورت زیر است :

شکل عمومی شرایط مرزی برای معادلات دیفرانسیل مرتبه ام از یک متغیر تابع معمولی به صورت زیر است:

که در آن
نقطه داده شده و متمایز از دامنه تابع جواب می باشند .
مثلا ً برای معادلات این شرایط به صورت
هستند.
بنابراین برای یک منحنی انتگرال که می خواهیم از دو نقطه داده شده
بگذرد شرایطی از نوع مرزی بکار می رود.
همچنین مسائل معادلات دیفرانسیل را به مسائل با شرایط مرزی و مسائل با شرایط اولیه مشخص می کنیم.
در این مجموعه ما به گرد آوری روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل می پردازیم و بیشتر با آنالیز عددی سر و کار داریم . که آنالیز عددی شامل مطالعه , توسعه و تجزیه و تحلیل الگوریتم ها برای بدست آوردن جوابهای عددی مسایل مختلف ریاضی است , که به آن محاسبات علمی می گویند .
( بخش اول)
(حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی)
فصل اول: معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط اولیه
مقدمه
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به صورت زیر نمایش داده می شوند :

که شاخه ای از آن را که به حل عددی آن می پردازیم می توانیم به صورت زیر از معادله بالا بدست آوریم :

که مسئله با شرایط اولیه آن به صورت زیر است :

حال ابتدا قضایای وجود و یگانگی جواب را در مورد این معادلات بررسی می کنیم و بعد به ارائه روشهای عددی مناسب برای حل آن می پردازیم .
11 در این قسمت در مورد اینکه برای یک معادله دیفرانسیل جوابی وجود دارد و اگر این جواب هست آیا یکتا است یا نه بحث خواهیم کرد .
مدل ما یک مساله مقدار اولیه به شکل زیر است :

هدف ما از حل این معادله یافتن مقدار مجهول است . و معادله
یک مقدار خاص از تابع ( f ) x را مشخص می سازد . و همانطور که می دانیم مشتق یک تابع شیب آن تابع را در نقطه مورد نظر ارائه می کند . همچنین داریم :
در مورد وجود جواب برای معادله دیفرانسیل قضیه ای را بیان می کنیم :
قضیه 1 : اگر در یک مستصیل به مرکز مثلاً

پیوسته باشد آنگاه مساله مقدار اولیه (1 ) یک جواب به ازای
خواهد داشت که در آن ماکسیمم در مستطیل می باشد.
اما حتی اگر پیوسته باشد ممکن است که مساله مقدار اولیه (1) دارای جواب منحصر به فرد نباشد .
قضیه 2 :اگر بر مستطیل تعریف شده پیوسته باشد آنگاه مساله مقدار اولیه (1 ) بربازه یک جواب منحصر به فرد دارد .
قضیه 3 از نوع دیگری است که به ما اجازه می دهد به وجود یکتایی یک جواب بر روی یک بازه از پیش تعیین شده پی می بریم .
قضیه 3 : اگر در نوار پیوسته باشد و در نا مساوی

صدق کند آنگاه مساله مقدار اولیه (1) یک جواب منحصر به فرد در دارد. که این نا مساوی یک شرط لیپشیتز در متغیر دوم است .
بسیاری از معادلات دیفرانسیل دارای جواب های شناخته شده به صورت توابع معمولی نیستند در نتیجه این گونه معادلات را نمی توان با روش مرسوم حل کرد. کاربرد سرهای تابعی به عنوان جواب این گونه معادلات, یکی از روشهای مهم در حل معادلات دیفرانسیل می باشد.
سری توانی زیر را سری تیلور می نامیم.

حال قضیه مهم تیلور را بیان می کنیم:
قضیه: اگر آنگاه برای هر دو نقطه در

که در آن
و نقطه ای بین است.
در واقع این قضیه شکل دیگری از سری تیلور را نشان می دهد.
حال به شرح روش سری تیلور می پردازیم.
1 2 روش سری تیلور
شرح روش :
در روش سری تیلور باید فرض کنیم که مشتقات جزئی وجود دارند . در روش سری تیلور جواب را به طور مستقیم نمی یابیم بلکه مقادیری از جواب را با گامهای که را خیلی کوچک در نظر می گیریم بدست می آوریم. سری تیلور به صورت زیر است :

که اگر بخواهیم این سری را خیلی ادامه دهیم خسته کننده است همچنین برای

تابعهای پیچیده بدست آوردن مشتقات مراتب بالاتر مشکل است بنابر این از مرتبه ای به بعد جملات را حذف می کنیم . که آنها بطور جمعی خطای برشی ما را تشکیل می دهند . همچنین مرتبه روش سری تیلور است اگر جملات تا و شامل آن مورد استفاده قرار گیرند .
که این خطای برشی را از فرمول زیر محاسبه می کنیم :

انباشته شدن همه این خطاهای برشی موضعی موجب به وجود آمدن خطای برشی کلی می شود . بنابراین اگر خطای برشی موضعی باشند آنگاه خطای برشی کلی باید باشد .
در اینجا به ارائه دو روش سری تیلور مرتبه اول و دوم و ام می پرادزیم.
روش سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول:
اگر قرار دهیم
اکنون عبارت زیر را داریم:

اگر قرار دهیم داریم همچنین فرض می کنیم که جواب است تقریباً برابر باشد. یعنی

یعنی

در مرحله بعدی به جای و به جای را قرار می دهیم داریم:

با تکرار معینی از روش داریم:

مثال: از روش تیلور مرتبه برای حل بر روی با
استفاده کنید, جوابها را برای مقایسه کنید:
حل: مشتقهای ابتدا باید تعیین شوند. به خاطر داریم که جواب تابعی از است و از فرمول
نسبت به مشتق می گیریم و را بدست می آوریم. سپس فرآیند را ادامه می دهیم و مشتقهای بالاتر را بدست می آوریم:

برای پیدا کردن مشتقهای ارائه شده در بالا را باید در نقطه
محاسبه کنیم:

بنابراین با توجه به فرمول سری تیلور و داریم:

نقطه جواب محاسبه شده عبارت است از
برای پیدا کردن مشتقهای را اکنون باید در نقطه
محاسبه کنیم:

بنابراین داریم:

نقطه جواب عبارت است از:
روش سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و ام
مسأله مورد مطالعه همانطور که می دانیم در اینجا مسأله زیر است:

برای مسأله قرار می دهیم

همچنین فرض می کنیم تابع تقریب جواب باشد یعنی

در این روش می دانیم که بسط تیلور مرتبه دوم تابع به صورت زیر است:

از این روابط داریم:

که این روابط اخیر اساس روش سری تیلور در این مسأله است که مشابه با سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به شکل زیر صورت می گیرد:

و بالاخره روش سری تیلور برای معادلات دیفرانسیل مرتبه ام به شکل زیر است:

روش اویلر
روش سری تیلور با روش اویلر نامیده می شود:

این روش دارای اهمیت نظری زیادی است زیرا قضایای وجود می توانند بر آن مبتنی باشند.
معادلات دیفرانسیل تأخیری
در این نوع معادلات مقدار به تابع در مقادیر قبلی بستگی دارد. برای مثال داریم:

که اگر مقدار را در بدانیم قادر به محاسبه هستیم و چون برای انتگرال گیری معادله

دیفرانسیل با شروع در , به مقدار با شروع در نیاز خواهیم داشت. بنابراین مقادیر بر روی بازه
به عنوان مقادیر اولیه برای ما فراهم باید باشند. مسائل با داشتن معادله دیفرانسیل ساده با این روش به آسانی قابل حل هستند ولی برای مسائل پیچیده تر باید از روش سری تیلور کمک بگیریم.
برای مثال مسئله زیر را در نظر بگیریم:

جواب ما که است بر روی بازه قرار دارد چون
است. که می توان با گامهایی به طول با استفاده از یک بسط تیلور استفاده کرد:

که داریم:

31 روشهای رونگه – کوتا
روشهای رونگه کوتا از طریق ترکیبات هوشمندانه مقادیر از روش سری تیلور پیروی می کنند. اما این روشها برخی تجزیه و تحلیلهای سری تیلور را ندارند.
روش رونگه – کوتای مرتبه دو
از سری تیلور داریم:

که از معادله دیفرانسیل داریم:

حال این مشتقات را در سری تیلور جایگزین می کنیم که داریم:

که به معنای و به معنای می باشد.
قضیه تیلور دو متغیره: اگر آنگاه برای هر دو نقطه در داریم:

معنی جملات مزبور در این قضیه به صورت زیر است:

وغیره.
هدف از بیان این قضیه این بود که ما قادریم مشتقات جزئی را در رابطه (1) با کمک چند جمله اول سری دو متغیره حذف کنیم:

معادله (1) به صورت زیر در می آید:

به طور کلی فرمولهای رونگه – کوتای مرتبه دوم که به روش هیدن نیز معروف است به شکل زیر است:

که در آن پارامترهایی هستند که در اختیار ما هستند که معادله (2) می تواند به کمک سری تیلور دو متغیره به شکل زیر نوشت:

با مقایسه روابط (1) و (2) داریم:

که اگر انتخاب کنیم که در شرایط هم صدق می کند روش متناظر با روش هیون است و اگر باشد روش تعدیل یافته اویلر را داریم:

که در آن:

روش رونگه – کوتای مرتبه 4
این روش به روش کلاسیک رونگه – کوتای مرتبه ها نیز معروف است و آن را در اینجا ارائه می دهیم:

که در آن:

این روش مرتبه 4 خوانده می شود چون جملات سری تیلور تا و خود را تولید می کند بنابراین خطای آن است. که این همان خطای برشی موضعی است.
در روش رونگه کوتای مرتبه 4 یک مقدار در اولین گام محاسبه می شود از طرف دیگر یک جواب دقیق وجود دارد که ما آن را نمی دانیم بنابراین در این گام خطای برشی موضعی بنا بر تعریف ع

بارت است از:

که این خطای برشی به ازای مقادیر کوچک مانند رفتار می کند که عددی مستقل از است اما وابسته به و تابع است. برای برآورد فرض می کنیم که هنگامی که از به تغییر می کند تغییر ننماید. فرض کنید مقدار تقریبی جواب در باشد که با گامی به طول از به دست آمده باشد. فرض کنید جواب تقریبی در
باشد که با دو گام به اندازه از بدست آمده باشد. اینها هر دو قابل محاسبه با فرضهای اختیار شده داریم:

با تفریق این دو معادله داریم:

بنابراین خطای برشی موضعی توسط تقریب زده می شود.
روش رونگه – کوتا – فلبرگ تطبیقی
روش رونگه – کوتا – فلبرگ تطبیقی حاصل از مرتبه 5 است و از دو فرمول دارای مرتبه های 4 و 5 استفاده می کند که این فرمولها مقادیر تقریبی مختلفی از جواب را ارائه می دهند و آنها را با
نشان می دهیم:
(3)
(4)
کمیت های : از فرمولهای از نوع:

محاسبه می شوند.
فرمول 3 از مرتبه پنج و فرمول 4 از مرتبه چهار است.
که البته فرمول (3) از (4) دقیقتر است و برای خروجی الگوریتم این روش از فرمول (3) استفاده می کنیم. همچنین تفاضل
تقریبی از خطای برشی موضعی است بنابراین می تواند برای کنترل اندازه گام در الگوریتم استفاده شود.

مقادیر ضرائب در جدول زیر داده شده اند:

مثال: از روش رونگه کوتا مرتبه 4 برای حل بر روی
با استفاده کنید.
حل:

بنا بر فرمول رونگه کوتا مرتبه 4 داریم:

41 روشهای چند گامی
در روشهای چند گامی بر خلاف روشهای سری تیلور و رونگه کوتا برای حل مسئله مقدار اولیه در هر گام از برخی مقادیر قبلی جواب استفاده می شود. مطلب مورد بحث در اینجا عبارت است از : می خواهیم مسئله مقدار اولیه

را به طور عددی حل کنیم. گامهای را بر روی محور تعیین کرده ایم. اگر جواب ما باشد از انتگرال گیری رابطه (1) داریم:

و سپس :

فرمول آدامز – بشفورث
انتگرال سمت راست در رابطه (2) می تواند توسط یک طرح انتگرال گیری عددی تقریب زده شود و می توانیم از نتیجه آن برای فرمول زیر استفاده کنیم:

اگر نقاط ها متساوی الفاصله باشند و داشته باشیم به ازای فرمول آدامز بشفورث مرتبه 5 به صورت زیر است:

برای اینکه بدانیم این ضرایب چگونه تعیین شده اند ابتدا روش ضرائب نامعین را که می خواهیم از آن استفاده کنیم توضیح می دهیم.
روش ضرایب نامعین
چند جمله ای از درجه حداکثر که را در گره های که متعلق به بازه هستند درونیابی می کند عبارت است از:

به طوری که داریم:

از رابطه (1) می توانیم بنویسیم:

حال از این روابط فرمول زیر بدست می آید که می توانیم برای هر تابع
استفاده کنیم:

که در آن

اگر گره ها متساوی الفاصله باشند فرمول اخیر فرمول نیوتن – کاستن نامیده می شود.
از همین روش می توانیم استفاده کنیم و پی ببریم که این فرمول برای همه چند جمله ایهای از درجه کوچکتر یا مساوی درست است. این موضوع را از آنجا می دانیم که این فرمول باید هر را به طور درست انتگرال گیری کند از این رو:

یک چند جمله ای از درجه حداکثر است و
حال فرمول دیگری را با استفاده از این روش برای فرمول نیوتن – کاتش بدست می آوریم.
فرمولی به شکل زیر در نظر می گیریم و جستجو می کنیم که برای همه چند جمله ایهای از درجه کوچکتر یا مساوی 2 دقیق باشد.

با استفاده از چند جمله ایهای به عنوان توابع آزمایشی بدست می آوریم.

جواب این دستگاه معادلات عبارت است از
چون فرمولی خطی است مقادیر دقیق انتگرالها را برای هر چند جمله ای درجه 2, تولید خواهد کرد. پس فرمولی به شرح زیر خواهیم داشت:

حال از آنچه گفته شد استفاده می کنیم و ضرایب را در فرمول آدامز بشفورث محاسبه می نماییم و ابتدا با قضیه تقریب زدن انتگرال رابطه (2) به صورت زیر شروع می کنیم.

ضرائب توسط این شرط که هر گاه انتگرالده یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی 4 باشد, معادله (3) دقیق باشد, تعیین می شوند. حال بدون اینکه از کلیت مسئله کاسته شود

فرض می کنیم

پنج چند جمله ای زیر را به عنوان یک پایه برای اختیار می کنیم:

وقتی که اینها در معادله قرار داده شوند

ما پنج معادله برای تعیین ضرایب به دست می آوریم. این دستگاه معادلات عبارتند از:

بنابراین ضرایبی را که در فرمول آدامز – بشفورث بدست آوردیم با جایگزاری پسر و از این دستگاه بدست می آیند.
فرمول آدامز – مولتن
برای بهتر کردن دقت از فرمولهای دیگر غیر از آدامز بشفورث نیز استفاده می شود. برای این منظور به رابطه (2) برمی گردیم و فرض می کنیم از یک انتگرال گیری عددی که شامل باشد استفاده می کنیم رابطه فرمول آدامز بشفورث شکل زیر را دارا خواهد بود:

فرمول زیر که فرمولی از این نوع می باشد, به فرمول آدامز – مولتن مرتبه 5 معروف است.

که این فرمول نیز می تواند با استفاده از روش ضرایب نامعین به دست آید. اما چون در هر دو طرف رابطه ظاهر شده است نمی توان مستقیماً از این فرمول برای بدست آوردن جواب استفاده کرد.
اما یک الگوریتم بسیار رضایتبخش به نام روش پیشگوی اصلاحگر از فرمول آدامز بشفورث برای پیشگیری یک مقدار آزمایشی برای مثلاً استفاده می کند و سپس فرمول آدامز – مولتن برای محاسبه یک مقدار اصلاح شده از استفاده می کند بنابراین در فرمول آدامز مولتن مقدار را به صورت با استفاده از مقدار پیشگویی شده به دست آمده از فرمول آدامز بشفورث, محاسبه می کنیم.
در استفاده از این روش پیشگو – اصلاحگر باید یک رویه خاص برای شروع به کار گرفته شود, معمولاً فرمولها با مرتبه یکسان با هم مورد استفاده قرار می گیرند. بنابراین روشهای رونگه – کوتای مرتبه پنج می توانند در ترکیب با فرمول آدامز – بشفورث و فرمول آدامز – مولتن استفاده شوند.
روش دیگری هم برای بدست آوردن مقدار در فرمول آدامز مولتن وجود دارد. به طور کلی فرمول آدامز – مولتن بیان می کند که یک نقطه ثابت یک نگاشت خاص است یعنی نگاشتی که به صورت:

تعریف می شود که در آن ترکیبی از همه جملات دیگر فرمول آدامز مولتن است.
الگوریتمی که توسط معادله به شکل تعریف شود تکرار تابعی نامیده می شود. بنابراین روش تکرار تابعی خودش را به عنوان طریقه ای برای محاسبه پیشنهاد می کند. بنابراین معادله

تحت فرضهای مناسب به یک نقطه ثابت همگرا خواهد بود.
برای توضیح این مطلب می دانیم اگر بر روی یک بازه باز دارای مشتق پیوسته باشد و فرض کنیم که در این بازه باز یک نقطه ثابت داشته باشد و اگر , آنگاه دنباله تعریف شده توسط تکرار تابعی به
همگرا خواهد بود اگر نقطه شروع به اندازه کافی به نزدیک باشد.
بنابراین اگر نقطه ثابت باشد. آنگاه باید تکرار را با یک نقطه در یک بازه به مرکز شروع کنیم که در آن
لازم است فرض کنیم پیوسته باشد. در حالت مورد نظر

با کوچک کردن اندازه گام , این مقدار می تواند به اندازه دلخواه کوچک شود. در عمل فقط

یک یا دو گام در این تکرار لازم است تا مقدار
به دست آید.
در این مرحله به تجزیه و تحلیل روشهای چند گامی خطی به طور کلی می پردازیم. ش

کل ظاهری هر چنین روشی به صورت زیر می باشد.

این روش, روش گامی نامیده می شود. ضرایب مفروضند و یک تقریب برای جواب در می باشد. این فرمول برای محاسبه استفاده می شود با فرض اینکه از قبل معلوم هستند. اگر ضریب باشد و روش را روش صریح گوییم چون به طور مستقیم با یک روش مقدماتی از فرمول بدست می آید. اگر آنگاه در سمت راست جمله شامل مجهول است و روش را روش ضمنی گوییم زیرا را به طور ضمنی تعیین می کنیم.
مرتبه هر روش نشان می دهد که چند جمله در یک روش سری تیلور باید توسط روش شبیه سازی شود برای مثال روش آدامز بشفورث از مرتبه 5 است.
در ارتباط با روش چند گامی یک نابع خطی به صورت زیر تعریف می کنیم.

از این تابع برای راحتی نمادگذاری فرض می کنیم و فرض می کنیم که اولین مقدار فرمول روش چند گامی در به جای شروع شود. حال فرض می کنیم با سری تیلورش در نمایش داده شود. با استفاده از سری تیلور میتوان را به صورت زیر بیان کرد:

برای محاسبه ضرایب , سری تیلور را برای می نویسیم:

حال این سریها را در تابع جایگذاری می کنیم و بر حسب توانهای مرتب می کنیم, مقادیر به صورت زیر هستند:

قضیه: سه خاصیت زیر در روشهای چند گامی معادل هستند:
1)
2) به ازای هر چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی .
3) به ازای همه است.
اثبات: اگر (1) درست باشد رابطه (6) دارای شکل

است. اگر یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی باشد آنگاه
به ازای همه , و بنابراین از معادله (8) داریم بنابراین
را ایجاب می کند.
فرض کنید (2) درست باشد اگر آنگاه بنابر قضیه تیلور می توانیم بنویسیم که در آن یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی بوده و یک تابع است که مشتق اول آن در صفر, صفر

می شوند چون معادله (6) نتیجه می دهد:

و (2) و ‌(3) را نتیجه می دهد.
بالاخره, فرض کنید که (3) درست باشد پس در رابطه (6) باید شرط
برقرار باشد از این رو (3) و (1) را ایجاب می کند. بنابراین می توانیم بگوییم مرتبه روش چند گامی عدد طبیعی منحصر به فرد است به طوریکه

مثال: مرتبه روش بیان شده توسط معادله زیر چند است؟

حل: بردار برابر , و بردار برابر می باشند بنابراین ها عبارتند از:

بنابراین مرتبه روش 4 می باشد.
همچنین دالکوئیست ثابت کرده است که یک روش گامی پایدار نظیر آنچه که مورد بحث قرار دادیم نمی تواند مرتبه ای بزرگتر از داشته باشد.
حال در این قسمت در مورد روشهای صریح و همگرا و ضمنی که در روشهای چند گامی به صورت زیر مورد استفاده قرار می گیرد مطالبی را بیان کنیم.

می دانیم که فرمول 1 یک برای روش چند گامی است و فرمول (2) یک فرمول آدامز – مولتن مرتبه 5 می باشد.
در حل یک مسئله دیفرانسیل با مقدار اولیه با استفاده از فرمول (1) فرض می کنیم که مقادیر اولیه توسط روش دیگری به دست آمده باشند سپس رابطه (1) با به طور متوالی استفاده می شود. حال اگر در معادله (1) ضریب باشد آنگاه مجهول در هر دو طرف معادله ظاهر می شود که در این حالت روش ضمنی است و اگر
باشد روش صریح نامیده می شود. حال برای تحلیل این موضوع فرض می کنیم در معادله (1) صدق کند. بنابراین می تواند با شروع از یک مقدار آزمایشی ارائه شد با تکرار توسط یک فرمول پیشگو به دست آید.
متناظر با معادله (1) دو چند جمله ای زیر وجود دارد:

با توجه به این دو چند جمله ای می توان به این نکته پی برد که برخی خواص مورد نظر از روش چند گامی به محل ریشه های چند جمله ای
بستگی دارند.
اگر جوابهای عددی با استفاده از اندازه گامهای متفاوت محاسبه شوند جواب تقریبی که از گام به دست می آید با نمایش می دهیم. و می دانیم که جواب واقعی هم است حال روش چند گامی همگرا است اگر:

همچنین داشته باشیم:

در چند جمله ای اگر ریشه های در قرص باشند و اگر هر ریشه با قدر مطلق 1 ساده باشد روش پایدار است و اگر روش سازگار است.

قضیه:روش چند گامی رابطه (1) همگرا است اگر شرط لازم و کافی را برای پایداری و سازگاری داشته باشد.
برای مثال روش میلن را که توسط رابطه زیر تعریف می شود تجزیه و تحلیل می کنیم:
این روش یک روش ضمنی است و چند جمله ای های در این روش به صورت ز

یر هستند:

صفرهای هستند. که ریشه های ساده هستند همچنین
بنابراین شرایط پایداری و سازگاری برقرار است و روش میلن همگرا است.
حال به اثبات قضیه می پردازیم:
ابتدا برای اثبات اینکه پایداری یک شرط لازم است فرض می کنیم روش پایدار نباشد بنابراین یک صفر که در صدق می کند دارد یا
یک صفر صادق در دارد و , در هر دو حالت مسئله مقدار اولیه ساده را که جوابش است در نظر می گیریم.

روش چند گامی توسط معادله زیر بیان می شود:

این یک معادله تفاضلی خطی است که یکی از جوابهایش است که در آن یکی از صفرهای است اگر آنگاه به ازای داریم.

این رابطه شرط دوم در همگرایی را برقرار می کند اما شرط اول را نقض می کند زیرا اگر آنگاه

از طرف دیگر اگر آنگاه یک جواب معادله برابر
است که شرط دوم همگرایی برآورده می شود زیرا اگر
آنگاه

ولی شرط اول همگرایی نقض می شود زیرا

برای اینکه اثبات کنیم سازگاری شرط لازم است فرض می کنیم روش تعریف شده توسط معادله (1) همگرا باشد مسئله زیر را در نظر بگیرید

جواب ما در این مسئله است. در اینجا معادله (1) شکل را دارد. یک جواب با قرار دادن و سپس استفاده از برای تولید بقیه مقادیر به دست می آید. چون روش همگرا است بنابراین داریم با قرار دادن این رابطه در معادله نتیجه

حاصل می گردد یا به عبارت دیگر .
حال مسئله مقدار اولیه زیر را در نظر بگیرید.

که جواب واقعی آن می باشد معادله به صورت زیر در می آید:

چون روش همگرا است بنابر اثبات قبل پایدار است از این رو
یک جواب معادله توسط رابطه , با ارائه می شود. در حقیقت با جایگذاری این رابطه در سمت چپ رابطه نتیجه می شود:

توجه داریم که مقادیر اولیه در این جواب عددی با مقدار اولیه
سازگار هستند زیرا به ازای . اکنون شرط اینکه باید همگرا باشد ایج

اب می کند که:

بنابراین: . بنابراین نتیجه می گیریم که
چون .
خطای برشی موضعی و کلی
فرض کنیم معادله ای که برای محاسبه استفاده می شود یک روش چند گامی به صورت زیر است:

که در اینجا مانند قبل به جای است. همچنین همه مقادیر قبلی دقیق هستند و داریم به ازای
در اینجا جواب واقعی است. و خطای برشی موضعی که ناشی از مدلسازی دیفرانسیل توسط یک معادله تفاضلی است برابر می باشد. در این خطا, هنگامی خطای گرد کردن در نظر گرفته نمی شود. فرض می کنیم که با دقت کامل از معادله تفاضلی (1) محاسبه شده باشد حال می خواهیم ثابت کنیم که اگر روش دارای مرتبه باشد آنگاه خطای برشی موضعی خواهد بود. حال قید و شرطهایی که تحلیل ما لازم دارد به صورت قضیه بیان می کنیم.
قضیه: اگر روش چند گامی (1) از مرتبه باشد, اگر و اگر پیوسته باشد آنگاه فرضهای قبل را در نظر می گیریم و بنابراین داریم:
که ضرائب را قبلاً تعریف کردیم:
اثبات: کافی است رابطه را برای ثابت کنیم زیرا می تواند به عنوان مقدار یک جواب عددی که از نقطه شروع شده است تعبیر شود. با استفاده از تابعی خطی رابطه خطی

می توان نوشت:

از طرف دیگر جواب عددی در معادله زیر صدق می کند:

چون فرض کرده ایم که از به ازای و نتیجه تفریق رابطه (2) عبارت است از:

که برای این رابطه قضیه مقدار میانگین را به کار می بریم داریم:

که در آن به ازای ای بین . حال اگر روش مورد استفاده از م

رتبه باشد آنگاه شکل زیر را دارا خواهد بود:

با توجه به آنکه داریم: و اگر یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی باشد آنگاه به ازای همه .
حال با ترکیب دو رابطه بدست آورده شده اخیر رابطه (1) را بدست می آوریم که می توانیم را در مخرج کسر نادیده بگیریم.
حال اگر فرض کنیم همه محاسبات به طور دقیق انجام شده باشد و خطای گرد کردن وجود نداشته باشد جواب واقعی در با جواب محاسبه شده اختلاف دارد زیرا توسط فرمولهای به دست آمده است که یک سری تیلور را تقریب می زنند که اختلاف را خطای برشی کلی می نامیم. که این خطا همانطور که می دانیم جمع کل خطاهای برشی موضعی است. می دانیم که در هر گام حل عددی از عرض تقریبی محاسبه شده در گام قبلی به عنوان مقدار اولیه استفاده می کنیم. چون آن عرض همراه با خطا است فرآیند عددی بر اثر آن مبادرت به ت

عقیب منحنی جواب غلط می کند. بنابراین باید تجزیه و تحلیل را با مشاهده اینکه چگونه دو منحنی جواب متفاوت هستند اگر با شرایط اولیه متفاوت شروع شوند آغاز کنیم. به عبارت دیگر نیاز داریم که تأثیر تغییر در یک مقدار اولیه را بر روی مختصات بعدی یک منحنی بفهمیم. شکل آنچه را که سعی در اندازه گیری آن داریم نشان می دهد.

مسئله مقدار اولیه زیر را در نظر بگیرید:

فرض می کنیم که که در اینجا آن را با نشان می دهیم پیوسته باشد و در شرط در ناحیه تعریف شده توسط
صدق کند. جواب این مسئله تابعی از است اما برای نشان دادن وابستگی آن به مقدار اولیه که آن را به صورت می نویسیم. را به صورت زیر تعریف می کنیم و بعد یک معادله دیفرانسیل وردشی بر حسب با مشتق گیری نسبت به از مسئله مقدار اولیه به دست می آوریم.

برای مثال را به طور صریح برای مسئله مقدار اولیه زیر تعیین می کنیم:

حل: توجه داریم که بنابراین معادله وردشی آن به صورت زیر است:
جواب مسئله مقدار اولیه اصلی است. بنابراین معادله وردشی به صورت زیر است:

و جواب این معادله برابر است با:

حال به ارائه چند قضیه می پدازیم:
قضیه 1 اگر آنگاه جواب معادله وردشی در نامساوی زیر صدق می کند.

اثبات: از معادله وردشی داریم:

حال با انتگرالگیری از این معادله داریم:

که در آن انتگرال مشخص شده را نشان می دهد. چون
و در نتیجه . بنابراین , زیرا تابع نهایی صعودی است.
قضیه 2: اگر مسئله مقدار اولیه زیر با مقادیر اولیه حل شود, منحنیهای جواب در حداکثر به اندازه تفاوت دارند.

اثبات: بنابر قضیه مقدار میانگین, بنا بر تعریف و بنا بر قضیه 3 داریم:

قضیه 3: اگر خطاهای برشی موضعی در از نظر بزرگی از تجاوز نکنند آنگاه خطاهای برشی کلی در از مقدار
تجاوز نخواهد کرد.
اثبات: فرض کنید خطای برشی متناظر با جواب عددی در نقاط
باشند. در محاسبه , یک خطای در شرط اولیه وجود دارد, و بنا بر قضیه 2, تاثیر این خطا در حداکثر می باشد. به این مقدار خطای برشی در
افزوده می شود. بنابراین خطای برشی کلی در حداکثر
می باشد. تاثیر این خطا در بنا بر قضیه 2 بزرگتر از
نسبت به این مقدار خطای برشی در افزوده می شود. با ادامه این راه در می یابیم که خطای برشی کلی در بزرگتر از مقدار زیر نمی باشد.

قضیه 4: اگر خطاهای برشی موضعی در جواب عددی باشند, آنگاه خطای برشی کلی است.
اثبات: در قضیه 3, فرض کنید برابر باشد. چون می باشد و با استفاده از فرمول قضیه 3 کاهشی به اندازه 1 در مرتبه پیدا می کنیم.
دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی
51 ابتدا شکل استاندارد دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را که یک دستگاه معادله و مجهول است به صورت زیر تعریف می کنیم:

که در این دستگاه توابع مجهول ما هستند که توابعی از یک متغیر مستقل می باشند. و نماد مشتق را نشان می دهد.
همچنین اگر این مسئله را به یک مسئله مقدار اولیه تبدیل کنیم آنگاه دستگاه (1) شامل معادله دیفرانسیل همراه با یک مقدار اولیه از پیش تعیین شده برای مثلاً می باشد ویک مشخصه از مقدار هر تابع
است.
مثال: دستگاه زیر را در نظر بگیرید. این دستگاه یک دستگاه خطی از توابع مجهول می باشد.

همانطور که ملاحظه می کنیم
جواب عمومی دستگاه عبارت است از:

که در آن ثابتهای دلخواه هستند. پس اگر از مشتق بگیریم و آن را در دستگاه (2) جایگذاری کنیم ملاحظه خواهد کرد که جواب درست است.
حال اگر برای این مسئله مقادیر اولیه هم در نظر بگیریم که این حالت برای مسائل فیزیکی خوش تعریف کاربر مثلاً مقادیر اولیه
را در نظر می گیریم بنابراین جواب به صورت زیر است:

می توانیم برای راحتی در نوشتن دستگاه, دستگاه (1) را به صورت برداری بنویسیم

.

یک نگاشت از (یا یک بازه در ) به توی است و یک نگاشت از
به است بنابراین دستگاه (1) را می تواند به صورت زیر نوشت:

یک معادله دیفرانسیل از مرتبه بالا را می توان به صورت زیر به یک دستگاه معادلات مرتبه اول تبدیل کرد. فرض کنید تنها یک معادله دیفرانسیل به شکل زیر داده شده باشد که در آن منظور از مشتق مرتبه
ام است. که در اینجا همه مشتقات نسبت به هستند یعنی

حال برای تبدیل به دستگاه (1) می توان متغیرهای جدید, را بر طبق تعریف زیر منظور کنیم.

که متغیرهای جدید در دستگاه (1) که یک دستگاه مرتبه اول است صدق می کنند.

که توجه داریم که ها نیز توابعی بر حسب متغیر مستقل هستند. بنابراین این یک دستگاه به شکل برداری رابطه (3) است.
برای حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از نرم افزارهای موجود بسیار, تقریباً همیشه لازم است که مسئله را به یک دستگاه معادلات مانند (3) تبدیل کنیم این فرآیند را با مثال نشان می دهیم.
مثال 1: مسئله مقدار اولیه زیر را به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل با مقادیر اولیه و مرتبه اول تبدیل کنید.

حل: متغیرهای جدید و را به صورت زیر تعریف می کنیم:

دستگاه معادلات عبارت است از:

شرایط اولیه در به صورت ترانهاده می باشند.
مثال 2: دستگاه زیر را به یک دستگاه معادلات مرتبه اول تبدیل کنید:

حل: متغرهای جدید را به صورت زیر تعریف می کنیم و در دستگاه وارد می نماییم:

که برای بدست آوردن می دانیم که که هر دو را از دستگاه بدست می آوریم یعنی را از معادله دومی با محاسبات مقدماتی بدست می آوریم.
61 روش سری – تیلور برای دستگاهها
روش سری – تیلور که در بخش 21 بیان می شود می تواند برای دستگاه معادلات مرتبه اول نیز به کار برده شود که در اینجا سری تیلور را برای هر متغیر به صورت زیر می نویسیم:

که نماد گذاری برداری آن به صورت زیر خواهد بود:

مشتقهای ظاهر شده در این فرمول را می توان از معادله دیفرانسیل به دست آورد که باید به ترتیب خاصی محاسبه شوند و باید اطمینان حاصل کنیم که کمیتهای لازم در هر گام به عنوان نتایج گامهای قبلی موجود هستند.
مثال: الگوریتم سری تیلور 3 را برای مسئله مقدار الیه زیر بنویسید از
استفاده کنید و جواب را بر روی بازه محاسبه کنید.

حل: چون سری تیلور مرتبه 3 استفاده می کنیم بنابراین مشتقات مراتب بالاتر مورد نیاز عبارتند از:

از لحاظ تفکری از کلیت مسئله کاسته نمی شود اگر فرض کنیم که معادلات دستگاه (1) به طور صریح شامل نباشد بنابراین دستگاه به شکل زیر خواهد شد.

که با وارد کردن یک متغیر می توانیم آن را بنویسیم که در این صورت معادله دیفرانسیل برای متغیر جدید به طور ساده می باشد. بنابراین طرح برداری آن به صورت زیر در می‌آید:

همچنین داریم . دستگاه به شکل (4) را خود مستقل می نامیم.
مثال مسئله مقدار اولیه زیر را به یک دستگاه که در آن به طور صریح ظاهر نشود تبدیل کنید.

حل: متغیرهای جدید را به صورت زیر تعریف می کنیم:

همچنین قرار می دهیم دستگاه جدید عبارت است از:

شرایط اولیه این مسئله به صورت می باشد.
روشهای دیگری نیز برای حل دستگاه معادلات مرتبه اول وجود دارند. حال اگر فرض کنیم دستگاه معادله مرتبه اول در حالتی باشد که خود مستقل باشد روش رونگه – کوتا برای آن به طور ساده ای نوشته می شود که فرمولهای رونگه – کوتای مرتبه چهار کلاسیک, به صورت برداری عبارتند از:

که در آنها

همچنین روش رونگه کوتای فلبرگ تطبیقی را هم می توان ارائه کرد که به صورت زیر است:

که در آن

در مورد ضرائب این فرمول در بخش قبل کامل بحث شد.
همچنین از روشهای چند گامی مثل روش آدامز – بشفورث – مولتن پیشگو – اصلاحگر نیز می توان برای حل دستگاه معادلات استفاده کرد. که این روشها را ارائه می دهیم:

همچنین برای بدست آوردن مقادیر اولیه

می توان از روش تک گامی مانند رونگه کوتا استفاده کرد.
فصل دوم معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط مرزی
12 مسایل مقدار مرزی
تفاوت مسایل مقدار مرزی با مسائل قبلی که بررسی کردیم تفاوت در شرطهای اولیه است. که در این نوع مسائل ما مقدار تابع را در نقاط مرزی به عنوان مقادیر اولیه در اختیار

داریم که برای حل این نوع مسائل نمی توانیم از روشهای گام به گام که تا به حال توضیح داده شده است استفاده کنیم زیرا جواب عددی نمی تواند بدون یک متمم کامل از مقادیر اولیه شروع شود.
یک نوع از مسائل مقدار مرزی به صورت زیر است که این یک مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای است.

حال یک مثال از مسئله مقدار مرزی در نقطه ای که می تواند بدون هیچ کار عددی حل شود ارائه دهیم.

می توانیم ابتدا جواب کلی معادله دیفرانسیل را که به شکل

می باشد بیابیم. سپس مقادیر را به طوری تعیین می کنیم که شرایط مرزی برقرار باشند:

بنابراین جواب مسئله برابر است با:

روشی که اکنون بیان شد کارا نیست اگر جواب عمومی معادله دیفرانسیل با 3 مقدار مرزی معلوم نباشد.
همچنین مطلوب ما در اینجا روشهای عددی هستند که به وسیله آنها هر مساله مقدار مرزی دو نقطه ای را بتوان حل کرد. قبل از ارائه روشهای عددی, در مورد وجود جواب برای مسائل مرزی دو نقطه ای بحث می کنیم و از آنجا که به سادگی نمی توان به وجود جواب پی برد قضایای را بیان خواهیم کرد.
برای مثال برای مسئله قبلی اگر مقادیر مرزی به تغییر یابند آنگاه معادلات متناقض را بدست می آوریم. بنابراین پی می بریم که مسئله فاقد جواب است.
قضیه 1 مسئله مقدار مرزی

یک جواب منحصر به فرد دارد اگر در نوار نامتناهی تعریف شده توسط نامساویهای پیوسته, نامنفی و کراندار باشد.
مثال: نشان دهید که مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای زیر یک جواب منحصر به فرد دارد:

حال: از قضیه استفاده می کنیم پس:
این تابع در نوار پیوسته است بعلاوه کراندار بوده و نامنفی می باشد زیرا بنابراین بر طبق قضیه 1 دارای یک منحصر به فرد است.
اگر بخواهیم از قضیه یک به طور کلی تر استفاده کنیم باید از تغییر متغیرها استفاده کنیم و برای انجام این کار بازه را تغییر می دهیم. فرض کنید مسئله اصلی به صورت

زیر باشد

که در آن در اینجا تغییر متغییری به شکل
به کار می بریم. ملاحظه می کنیم که اگر باشد آنگاه و اگر
آنگاه است بنابراین می توانیم
تعریف کنیم سپس . همچنین

لذا اگر یک جواب برای مسئله باشد آنگاه یک جواب مسئله مقدار مرزی زیر است:

بر عکس اگر یک جواب برای (2) باشد آنگاه تابع
یک جواب (1) است.
قضیه 2 مسایل مقدار مرزی دو نقطه ای زیر را در نظر بگیرید.

که در آن
اگر یک جواب باشد آنگاه تعریف شده توسط
یک جواب است. همچنین اگر یک جواب باشد آنگاه
یک جواب است.
اثبات: این یک بررسی ساده به صورت زیر می باشد:

مثال 2 با استفاده از قضیه 2 ملاحظه می کنیم که مسایل مقدار مرزی دو نقطه ای زیر معادل هستند:

برای تبدیل یک مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای

به یک مسئله ای که دارای مقادیر مرزی همگن باشد, به طور ساده یک خط تابع خطی که مقادیر را در 0 و 1 اختیار می کند, از
قضیه 3 مسائل مقدار مرزی دو نقطه ای زیر را در نظر بگیرید:

که در آن
اگر را حل کند, آنگاه تابع
را حل می کند. به علاوه اگر را حل کند, آنگاه
را حل می کند.
اثبات: با یک بررسی مستقیم داریم:

مثال 3 نشان دهید که مسئله زیر دارای یک جواب منحصر به فرد است:

حل مقادیر مرزی در این مسئله همگن نیستند پس نمی توانیم بلافاصله از قضیه 1 استفاده کنیم. پس برای تبدیل آن به مسئله به مقادیر مرزی همگن از قضیه 3 استفاده می کنیم و تغییر متغیر زیر را انجام می دهیم:

پس

مقادیر مرزی برای متغیر جدید برابر است با

مسئله مرزی برای همانطور که در مثال 1 نشان داده شد یک جواب منحصر به فرد دارد. بنابراین مسئله برای یک جواب منحصر به فرد دارد. برای بدست آوردن با توجه به قضیه 3 داریم:

مثال 4 مسئله مقدارمرزی دو نقطه ای زیر را به یک مسئله معادل با مقادیر مرزی صفر بر روی بازه {1و0}تبدیل کنید:

حل: چون مقدار را در صفر و یک نداریم پس ابتدا از قضیه 2 استفاده می کنیم و یک مسئله معادل می نویسیم:

که در آن

حال می توانیم از قضیه 3 استفاده کنیم پس مسئله معادل دیگر عبارت است از:

حال مسئله مقدار مرزی (5) را بر حسب حل می کنیم و جواب مسئله مقدار مرزی (4) را از معادله

به دست می آوریم. سپس مسئله مقدار مرزی (2) را از رابطه زیر به دست می آوریم.

مثال 5 فرض کنید که جواب را بر مسئله مقدار مرزی (5) محاسبه کنیم جواب متناظر برای مسئله مقدار مرزی (3) چیست؟
حل داریم
و همچنین نتیجه می دهد که بنابراین جواب عبارت است از:

قضیه 4 فرض کنید یک تابع پیوسته از باشد که
فرض کنید بر روی این دامنه داشته باشیم.

آنگاه مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای

دارای یک جواب منحصر به فرد در می باشد.
اثبات: مسئله مقدار مرزی در قضیه فوق با مسئله انتگرال زیر معادل می باشد.

که در آن تابع گرین به صورت زیر است:

معادله انتگرالی به دست آمده دارای شکل است که عملگر تعریف شده توسط انتگرال است. با استفاده از قضیه نگاشت انقباضی با ناخ در فضای نتیجه می گیریم که دارای یک نقطه ثابت منحصر به فرد است و معادلات فوق جوابهای منحصر به فرد دارند.
مثال : نشان دهید مسئله زیر دارای جواب منحصر به فرد است:

حل: در اینجا . بنا بر قضیه مقدار میانگین

مشقهای مورد نیاز در اینجا در رابطه

صدق می کند. بنابراین دارای جواب منحصر به فرد است.

22 مسایل مقدار مرزی: روشهای تیراندازی
در این قسمت به حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی که صورت مسئله به صورت زیر است می پردازیم. قابل ذکر است که شرایط مرزی و اولیه برای معادلات دیفرانسیل از مرتبه های بالاتر از یک که اینجا نیز مسئله ما یک مسئله با مرتبه 2 است با هم فرق دارند و از یکدیگر متمایز می شوند.

در اینجا نیز قضیه هایی برای یگانگی جواب برای مسئله (1) وجود دارند که آنها را بیان می کنیم.
قضیه 1 اگر تابعی از سه متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد که روی ناحیه پیوسته باشد و هر

گاه وجود داشته باشند و پیوسته باشند آنگاه مسئله مقدار مرزی (1) دارای جوابی یکتا است. هر گاه:
الف) به ازای هر
ب) ثابتی مانند وجود داشته باشد که
مثال معادله دیفرانسیل

مفروض است آیا معادله دارای جوابی یکتا است.
حل:

بنابراین دارای جوابی یگانه در درون ناحیه است.
یکی از راههای حل عددی مسئله مورد نظر روشهای تیراندازی است که این روشها نیز بسته به نوع خطی یا غیر خطی بودن مسئله (1) به دو نوع تیراندازی خطی و غیر خطی تقسیم می شوند. حال در ابتدا فرض می کنیم که مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای (1) خطی باشد. بنابراین مسئله (1) به صورت زیر در می آید:

فرآیند تیراندازی به صورت کلی بر این اساس است که برای حل مسئله مقدار اولیه با یک حدس برای مقدار اولیه مناسب شروع می کنیم. سپس می توانیم از معادله انتگرال گیری کنیم تا یک جواب تقریبی به دست آوریم به طوریکه اگر چنین نشد می توانیم مقدار حدس زده شده را تغییر دهیم و دوباره سعی کنیم. سعی می کنیم مقدار حدس زده شده را با نشان دهیم. بنابراین مسئله مقدار اولیه (1) عبارت است از

جواب این مسئله مقدار اولیه با نشان می دهیم. هدف انتخاب می باشد به صورتی که قرار می دهیم
بنابراین هدف ما به طور ساده حل معادله بر حسب است. می توانیم برای حل آن از روش وتری و تصنیف فاصله و نیوتن استفاده کنیم.
روش تیراندازی در تلاش محاسباتی کاملاً گران تمام می شود. و مهم است که روشهایی را برای اقتصادی کردن آن در نظر بگیریم. به وضوح از هر اطلاع جزیی درباره مقدار صحیح باید بهره برداری کرد. همچنین ممکن است مسائل مقدار اولیه را با یک اندازه گام بزرگ حل کرد, زیرا دقت بالا اساساً در مراحل اولیه روش تیراندازی از بین می رود. فقط وقتی
نزدیک صفر است باید از یک اندازه گام کوچک استفاده کرد.
روش وتری
این روش برای حل یک معادله به کار می رود. به صورتی که دو مقدار مثلاً و در دسترس باشد. و خطی است. با استفاده از معادله خط مستقیم گذرنده از داریم:

اگر را به قسمتی انتخاب کنیم که فرمول زیر را بدست می آوریم.

این فرآیند می تواند برای بدست آوردن دنباله مقادیر توسط
تکرار شود. این معادله روش وتری را تعریف می کند.
مثال: از روش خط قاطع (وتری) برای یافتن صفرهای تابع زیر استفاده کنید.

حل: یک رسم تقریبی نشان می دهد که صفر بین 7 و 8 وجود دارد. ما این نقاط را در الگوریتم به عنوان اختیار می کنیم. نتایج زیر را خواهیم داشت:

بنابریان در روش وتری وقتی چند مقدار بدست آمده باشد که برای آنها تقریباً صفر باشد می توانیم این روش را متوقف کنیم و از چند جمله ای در دیناب برای تقریب زدن یک مقدار بهتر استفاده نماییم. که چگونگی انجام این عمل به شرح زیر است: فرض کنید کوچک باشند. یک چند جمله ای که جدول

را درونیابی کند می یابیم. بنابراین چند جمله ای دارای خاصیت
به ازای می باشد. تقریب بعدی , توسط معادله
تعیین می شود. این رویه به یک تقریب تابع معکوس توسط چند جمله ای , منجر می شود. موفقیت آن به اینکه یک معکوس مشتق پذیرد در همسایگی ریشه داشته باشد بستگی دارد. و این نیز به نوبه خود به این فرض نیاز دارد که ریشه مورد سؤال ساده باشد.
حال مسئله (2) را در نظر می گیریم و در استفاده ازروش تیراندازی فرض می کنیم تابع نیز خطی باشد که در این صورت روش وتری جواب واقعی را در یک گام ارائه می دهد. در دنباله مطالب فرض خواهیم کرد که توابع بر روی بازه پیوسته باشند. برای حل مسئله (2) دو مسئله زیر را مطرح می کنیم که باید حل شوند:

حال یک ترکیب خطی از تشکیل می دهیم:

که در آن پارامتر است. به راحتی تحقیق می شود که معادله دیفرانسیل را حل می کند و اولین شرط از دو شرط مرزی برآورده می سازد یعنی . ما را به قسمی انتخاب می کنیم که . بنابراین

در یک اجرای کامپیوتری این ایده ها برای مسئله خطی (2) می توانیم را در یک زمان به دست آوریم. لذا دو مسئله (3) و (4) را می توان با مقادیر اولیه زیر حل کنیم:

جواب معادله اول که از مسئله (3) بدست آوردیم برابر است و جواب معادله دوم که از مسئله (4) بدست آوردیم برابر است.
برای بدست آوردن می توانیم از روش سری تیلور استفاده کنیم. حال برای ایجاد یک دستگاه معادلات مرتبه اول که در آن به طور صریح ظاهر نشده باشد را نیز تعریف می کنیم سپس دستگاه معادلات دیفرانسیل با مقادیر اولیه به صورت زیر است:

این دستگاه باید به عنوان ورودی به یک برنامه کامپیوتری داده شود تا مسئله مقدار اولیه حل شود. مقادیر تقریبی توابع گسسته به ازای باید در حافظه کامپیوتر به عنوان یک آرایه یک بعدی ذخیره گردند. سپس مقدار باید توسط معادله محاسبه
شود. بالاخره جواب در هر نقطه دلخواه باید از معادله

محاسبه شود.
قضیه 2 اگر مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای (2) یک جواب داشته باشد آنگاه خودش یا یک جواب هستند. (و یک جواب است).
اثبات: فرض کنید جوابهای مسایل مقدار اولیه زیر باشند.
بنابر نظریه معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دو جواب عمومی معادله دیفرانسیل (2) عبارت است از:

که در آن ثابت های دلخواه هستند. فوراً ملاحظه می کنیم که توابع مسائل (3) و (4) حالتهای خاصی از جواب های عمومی هستند که به صورت زیر ارائه می شوند:

چون فرض شده است که مسئله رابط (2) یک جواب دارد اعداد وجود
دارند به قسمی که

اولین معادله از این معادلات به منجر می شوند و بنابراین را به صورت زیر نتیجه می گیریم:

اگر آنگاه تابع تعریف شده توسط معادلات (5) و (6) جواب (2) است. اگر آنگاه از معادلات (7) داریم معادله (8) می گوید که و معادله (7) می گوید که یک جواب است.
روش نیوتن
حال به مسئله کلی تر مقدار مرزی دو نقطه ای معادله (1) بر می گردیم. و چگونگی کاربرد روش نیوتن را که به آن اشاره کردیم توضیح می دهیم. می دانیم که به عنوان جواب مسئله زیر تعریف می شود:

می خواهیم را به گونه ای انتخاب کنیم که
فرمول نیوتن برای تابع به صورت
می باشد. برای تعیین از همه معادلات (9) نسبت به مشتق جزئی می گیریم:

با کمی ساده کردن و وارد کردن متغیر جدید این معادله به صورت

در می آید. ما این مجموعه معادلات را به عنوان یک مسئله مقدار اولیه می شناسیم. معادله دیفرانسیل (11) اولین معادله وردشی نامیده می شود. این معادله می تواند گام به گام همراه با معادله (9) حل شود. در انتها در دسترس خواهد بود و داریم:

این رابطه ما را به استفاده از روش نیوتن قادر می سازد معادله (10) برای یافتن یک صفر است.
مثال: مسئله زیر را با توجه به شرایط اولیه حل کنید: (تیراندازی خطی)

حل:

از روش سری تیلور داریم:

تیراندازی چندگانه:
استراتژی اصلی در روشهای تیراندازی چندگانه تقسیم بازه داده شده به زیر بازه ها در حل مسئله کلی در قطعه هامی باشد. ابتدا این روش را برای حالتی بیان می کنیم که بازه فقط به دو زیر بازه تقسیم شده باشد.
مسئله اصلی مانند قبل است یعنی

بر روی دو زیر بازه مسایل مقدار اولیه را حل می کنیم و توابع را بدست می آوریم.

توجه کنید که پارامترهای در اختیار ما هستند. تابع فقط بر روی بازه و تابع فقط بر روی بازه مورد نیاز هستند. جواب عددی
در جهت کاهش به پیش خواهد رفت.
حال پارامترهای تعدیل می گردند تا تابع قطعه ای

یک جواب مسئله شود. بنابراین نیاز به پیوستگی در نقطه داریم:
این دو شرط با یک انتخاب ماهرانه برآورده می شود. نوعاً این عمل توسط روش نیوتن در فضای 2 بعدی انجام می شود. که این روش به شرح زیر است:
در روش نیوتن 2 بعدی ابتدا باید بگوییم که روش نیوتن می تواند در مورد چندجمله ایهای کاهش یافته به کار رود. این فرآیند می تواند تکرار شود تا تمام صفرها تعیین شوند. تجربیات و تجزیه و تحلیلهای بیشتر نشان داده اند که این روش به طور کلی رضایت بخش خواهد بود به شرط آنکه دو احتیاط زیر در نظر گرفته شوند:
(الف) صفرها باید به ترتیب بزرگی اندازه محاسبه شوند.
(ب) هر صفر که توسط روش نیوتن و از چند جمله ایهای کاهش یافته بدست می آید باید فوراً با به کارگیری روش نیوتن در مورد چند جمله ایهای اصلی و استفاده از بهترین تقریب آن صفر به عنوان مقدار اولیه بهبود یابد. فقط بعد از انجام این عمل باید گام بعدی کاهش یابد.
تیراندازی چندگانه همراه زیر بازه شامل زیر تابع خواهد بود که هر کدام از آنها توسط حل عددی یک مسئله مقدار اولیه بدست می آیند. مقادیر اولیه این زیر تابع یک مجموعه پارامتری را تشکیل خواهند داد.
در هر نقطه تقسیم داخلی بازه, پیوستگی تابع کلی و مشتق اول آن باید تحمیل شود. این تحمیل, شرط ایجاب می کند. دو شرط روی نقاط انتهایی وجود دارد و بنابراین تعداد شرایط با تعداد پارامترها مساوی است. دستگاه حاصل از معادلات غیر خطی به طور تکراری حل می شود. به عنوان مثال توسط روش نیوتن در ابعاد بالاتر حل می شود.
روش نیوتن برای حل دستگاه معادلات غیر خطی
فرض می کنیم دستگاه معادلات غیر خطی به صورت باشد که داریم
بنابراین

روش نیوتن برای حل از بسط تیلوری تابع در حول نقطه ای نزدیک به جواب شکل می گیرد. و در واقع حاصل خطی سازی دستگاه معادلات غیر خطی است.
فرض می کنیم جواب معادله باشد و تخمینی از به اندازه کافی نزدیک به آن باشد. بسط تیلوری را به مرکز می نویسیم.

که برداری از لحاظ طول کراندار است.
اکنون اگر باشد داریم:

اگر عبارت قابل صرف نظر باشد معادله فوق به صورت تقریبی زیر در می آید
بنابراین اگر معادله را حل کنیم تقریبی از را بدست می آوریم که آن را می نامیم.

قرار می دهیم لذا داریم:

با حل این دستگاه بر حسب جواب را تعیین می کنیم که داریم:

بررسی می کنیم که آیا در شرط توقف صدق می کند یا خیر. به همین ترتیب هر بار به کمک بدست آمده در مرحله قبلی معادله ماتریسی را حل می کنیم تا به صورت زیر تعیین شود
اگر اترمینان مخالف صفر باشد قرار می دهیم
از لحاظ نظری رابطه تکراری زیر بدست می آید:
که در آن اما داریم:

که همان ماتریس ژاکوبین تابع است.
چون اغلب محاسبه وقتی n بزرگ باشد دشوار است معمولا برای تعیین ها دستگاه معادلات رابطه به معادله ماتریسی را حل میکنیم . از لحاظ نظری می توان ها را به صورت زیر بدست آورد :

ماتریس بدست آمده با قرار دادن به جای ستون است .
بیشتر نرم افزارهای موجود برای مسایل مقدار مرزی دو بعدی برای یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول
نوشته شده اند که در آن
اغلب اجازه داده می شود که شرایط مرزی کاملا کلی باشند به عنوان مثال برخی از کدها اجازه می دهند که شرایط مرزی به شکل
باشند که در آن برخی از نرم افزارها نیاز دارند که کاربر ماتریس ژاکوبین تابع F را که یک ماتریس با درایه های
می باشد فراهم نمایند .
مثال : فرض کنید که نرم افزاری از نوع بیان شده در فوق باید در مورد مساله زیراستفاده شود .

F , G , J چه هستند ؟
حل : قرار می دهیم اکنون مساله می تواند به صورت زیر بیان شود

توابع F و G می توانند از این معادلات بدست آیند . تابع ژاکوبین توسط

ارائه می شود .
حال دو قضیه مهم از نظریه کلی معادلات خطی مرتبه دوم در اینجا ذکر می کنم .
قضیه 3 اگر توابعی پیوسته روی بازه بسته باشند . آنگاه به ازای هر جفت از اعداد حقیقی مساله مقدار اولیه

یک جواب منحصر به فرد بر روی دارد .
قضیه 4 هر جواب معادله ( نا همگن )
می تواند به صورت بیان شود که در آن یک جواب خصوصی معادله بالاست و یک مجموعه مستقل خطی از جوابهای معادله (‌همگن ) زیر تشکیل می دهند .
32 مسایل مقدار مرزی :
روشهای تفاضل متناهی
گروه مهمی از روشهای عددی برای حل مساله مقدار مرزی به کمک روشهای تفاضلاتی شکل می گیرد . در این روشها با توجه به فرمولهای تفاضلاتی مشتقات معادله دیفرانسیل داده شده را به یک دستگاه معادله تفاضلاتی تبدیل می کنیم . مجهولات این معادلات مقادیر تابع در نقاط تقسیم فاصله زیر فاصله با طول برابرند . اکنون دستگاه معادلات با مقادیر تابع در نقاط تقسیم فاصله زیر فاصله با طول برابرند . اکنون دستگاه معادلات مورد نظر را حل می کنیم و جواب

آن را بدست می آوریم مقادیر جواب مقادیر مطلوب ( تقریبی ) هستند .
در این روشها دو فرمول زیر مفید هستند :
معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
مساله زیر را در نظر می گیریم و توجه داریم که روشهای تفاضلات متناهی زیر به دو گروه برای معادلات خطیو غیر خطی تقسیم می شوند که در اینجا به روشهای تفاضلات متناهی خطی می پردازیم .

فرض کنید بازه به وسیله نقاط
افراز شود لازم نیست که نقاط متساوی الفاصله باشند , اما در عمل معمولا چنین است . در حقیقت اگر نقاط به طور یکنواخت توزیع نشده باشند , آنگاه گونه های پیچیده تر (1 ) و (2 ) باید وارد شوند . بنابر این برای سادگی فرض می کنیم

مقدار تقریبی رابا نشان می دهیم . بنابر این گونه گسسته (3 ) به صورت زیر می باشد .

در معادله (5 ) مجحولها عبارتند از معادله وجود دارد که باید حل شوند .
حال شکل کلی زیر را برای f در نظر می گیریم :

بنابر این دستگاه (5 ) یک دستگاه معادلات خطی است که می تواند به شکل زیر نوشته شود

به طوریکه داریم :
سپس خلاصه نویسیهای زیر را وارد می کنیم :

بنابر این دستگاه معادلات به صورت زیر می باشند :

چون عناصر نشان داده شده صفر هستند , این دستگاه سه قطری است و می تواند توسط یک الگوریتم کاوسی خاص حل شود . توجه کنید که اگر h کوچک و باشد , ماتریس دستگاه غالب قطری است زیرا

در اینجا باید فرض کنیم زیرا سپس جمله های
هر دو نا منفی خواهند بود . از این به بعد فرض می کنیم که
به قدر کافی کوچک باشد به قسمی تساوی زیر بعدا لازم خواهد شد :

همگرایی
نشان خواهیم داد که وقتی h به صفر میل می کند جواب گسسته به جواب مساله مقدار مرزی میل می نماید . حال برای دانستن اینکه مساله مقدار مرزی

دارای یک جواب منحصر به فرد است قضیه کلر را به صورت زیر بیان ی کنیم :
قضیه 1 مساله مقدار مرزی

دارای یک جواب منحصر به فرد است بر روی بازه است در حالی که تعلق دارند و

به شرط آنکه :
(I ) f و اولین مشتقهای جزئی آن بر روی دامنه
پیوسته باشند .

ما جواب اصلی مساله رابا و جواب مساله گسسته را با نشان می دهیم . توجه کنید که به بستگی دارد . ما را بر آورد خواهیم کرد و نشان خواهیم داد وقتی این مقدار به صفر همگرا می گردد.
با کمک فرمولهای (1) و (2) ملاحظه می کنیم که در دستگاه معادلات زیر به ازای صدق می کند .

از طرف دیگر جواب گسسته در معادلات زیر صدق می کند

اگر معادله (12) را از معادله (11) کم کنیم و قرار دهیم

که در آن
بعد از جمع آوری جملات و ضرب آنها در معاله ای شبیه به معادله (7)
داریم یعنی :

با استفاده از ضرایبی که قبلا معرفی شده اند این معادله را به صورت زیر می نویسیم :

فرض کنید و اندیس ای انتخاب می کنیم که برای آن

در اینجا بردار است . پس از معادله (16) به دست می آوریم :
و با استفاده از معادله (9)خواهیم داشت :

بنابر معادله (14) عبارت داخل کروشه یک کران مستقل از h است . بنابراین ملاحظه می کنیم که وقتی , برابر است .
مثال مسئله زیر را به روش تفاضلات متناهی حل کنید ؟

حل:

عناصر ماتریس قطری :

42 مسایل مقدار مرزی : هم محلی
روش هم محلی استراتژی فراهم می کند که توسط آن می توانیم بسیاری از مسایل را در ریاضیات کاربردی حل کنیم . ابتدا یک توصیف کلی ارائه می کنیم . فرض کنید یک عملگر خطی L داشته باشیم ( مانند یک عملگر انتگرال یا عمل گر دیفرانسیل ) و بخواهیم معادله زیر را حل کنیم

در این معادله w مفروض , u مورد جستجو است . برخی روشهای تقریبی برای حل معادله (1) با انتخاب یک مجموعه بردارهای پایه ای
شروع می کنند معادله (1) با یک بردار u به شکل زیر حل کنند .

چون L یک عملگر خطی است داریم :
و بنابراین معادله (1) منجر به معادله زیر می شود :
به طور کلی ما قادر به حل دستگاه (3) نسبت به ضرایب نخواهیم بود ولی احتمالا می توانیم معادله (3) را تقریبا برقرار سازیم . در روش هم محلی بردارهای u , wو همگی توابعی بر روی یک دامنه مشترک هستند . بنابر این نیاز داریم که مقادیر توابع
در n نقطه از پیش تعیین شده یکسان باشند :
این یک دستگاه n معادله خطی است که از آن می توانیم مقادیر n ضریب مجهول را محاسبه کنیم البته , توابع و نقاط باید به گونه ای انتخاب شوند که ماتریس با درایه های نا منفرد باشد . (ترمینال مخالف صفر )
مسایل مقدار مرزی استورم – لیو ویل
حال می خواهیم ببینیم که این روش چگونه بر روی یک مساله مقدار مرزی دو نقطه ای استورم – لیوویل عمل خواهد کرد .

در اینجا تابع u مجهول است و بر روی بازه تعریف شده است .و توابع همگی داده شده اند و بر روی بازه پیوسته هستند همچنین انتظار داریم تابع u دو باره به طور پیوسته مشتق پذیر باشد . حال اگر عملگر L به صورت زیر تعریف کنیم
در جستجوی جوابی در فضای برداری زیر خواهیم بود

از این رو اگر مجموعه توابع پایه ای را از انتخاب کنیم , آنگاه شرایط مرزی ه

مگن به طور خودکار برقرار خواهند بود . یک مجموعه از توابع که خودش را کاندید می کند مجموعه ( دو اندیسی ) زیر می باشد :
به راحتی بررسی می کنیم که

از معادلات (9) و (10) به راحتی می توان تابع را نوشت . اگر n تابع از مجموعه توصیف شده در معادله (8) و n نقطه در بازه
انتخاب شوند , می توانیم سعی کنیم معادلات هم محلی (4) را حل کنیم و یک جواب تقریبی مساله (5) را بدست آوریم .

B – اسپلانیهای مکعبی
یک انتخاب بهتر از توابع پایه ای برای چنین مساله ای مجموعه B – اسپلانیها خواهد بود .
ابتدا برای آشنایی با B اسپلانیها یک نظریه اساسی در مورد این توابع ارائه می دهیم به این شرح که : یک تابع اسپلاین از قطعه چند جمله ایها ئی بر روی زیر بازه ها تشکیل می شود که با شرایط پیوستگی خاص به هم می پیوندند . به طور رسمی فرض کنید نقطه
مشخص شده باشند و در رابطه صدق کنند این نقاط گره نامیده می شوند . همچنین فرض کنید یک عدد صحیح از قبل مشخص شده باشد . یک تابع اسپلاین از درجه k دارای گره های
یک تابع s است به قسمی که :
(i) در هر بازه , s یک چند جمله ای از درجه کوچکتر یا مساوی k باشد .
(ii )s دارای مشتق ام پیوسته بر روی باشد.
از این رو s یک چند جمله ای قطعه ای پیوسته از درجه حد اکثر k است که دارای مشتقهای پیوسته همه مرتبه ها تا می باشد.
نظریه و ساخت اسپلاینهای مکعبی را بطور دقیقتر گسترش می دهیم , زیرا در اینجا اینها مورد استفاده قرار می گیرند . فرض کنید یک جدول مقادیر به صورت زیر داده شده باشد :

و یک اسپلاین مکعبی باید ساخته شود که جدول را درون یابی کند . در هر بازه
با یک چند جمله ای درجه سه متفاوت بیان می شود . فرض کنید
چند جمله ای مکعبی باشد که s را بر بازه نمایش دهد. بنابراین

چند جمله ایهای در نقطه مقدار یکسانی را درونیابی می کنند, بنابراین
از این رو به طور خودکار پیوسته است. بعلاوه فرض می شود و پیوسته باشند و این شرایط در مشتق گیری تابع اسپلاین مکعبی استفاده خواهند شد.
آیا پیوستگی شرایط کافی برای تعریف یک اسپلاین مکعبی فراهم می آورند؟
در چند جمله ای قطعه ای مکعبی ضریب وجود دارد زیرا در هر یک از چند جمله ای مکعبی ضریب وجود دارد. بر روی هر زیر بازه دو شرط درونیابی یافت می شود و که شرط را ارائه می دهند. پیوستگی در هر گره داخلی یک شرط ارائه می دهد,
که کلاً شرط دیگر به حساب می آیند. به طور مشابه پیوستگی نیز
شرط دیگر را ارائه می دهد. بنابراین به طور کلی شرط برای تعیین ضریب وجود دارد. در درجه آزدی باقی می ماند و راههای مختلفی برای بهره گیری از آنها وجود دارد.
اکنون معادله ای برای بر روی بازه به دست می آوریم. ابتدا اعداد را تعریف می کنیم. واضح است برای
وجود دارد و در رابطه زیر صدق می کند

زیرا در هر گره داخلی پیوسته است. چون یک چند جمله ای مکعبی بر روی است یک تابع خطی است که در
صدق می کند و بنابراین با معادله خط مستقیم بین ارائه می شود:

که در آن اگر دو بار از این معادله انتگرال بگیریم مهادله خود به دست می آید:

که در آن مقادیر ثابت انتگرال گیری هستند.(برای برسی, دوبار از (14) مشتق بگیرید تا (13) بدست آید.) اکنون برای تعیین می توان شرایط درونیابی و را بر تحمیل نمود. نتیجه عبارت است از:

معادله (15) نیز به راحتی تحقیق می شود. به طور ساده قرار دهید
تا ملاحظه کنید شرایط درونیابی برآورده می شوند. به محض اینکه مقادیر تعیین شوند معادلات (12) و (15) می توانند برای محاسبه به ازای هر دربازه مورد استفاده قرار گیرند.
برای تعیین از شرایط پیوستگی استفاده می کنیم. در هر گره داخلی , باید داشته باشیم . معادله (15) به ما
را با مشتق گیری ارائه می دهد. سپس با جایگذاری و ساده کردن نتیجه زیر به دست می آید:

به طور مشابه, با استفاده از معادله (15), را به دست می آوریم نتیجه می شود
وقتی سمت راست معادلات (16) و (17) مساوی یکدیگر قرار می گیرند, نتیجه به صورت زیر می تواند نوشته شود.

این معادله فقط برای استفاده می شود. لذا این دستگاه
معادله خطی برای مجهول ارائه می دهد.

را می توانیم دلخواه انتخاب کنیم و دستگاه معادلات حاصل را حل کنیم تا به دست آیند. یک انتخاب جالب عبارت است از
, تابع اسپلاین حاصل یک اسپلاین مکعبی طبیعی نامیده می شود. دستگاه معادلات خطی (18) برای با متقارن, سه قطری – غالب قطری و به شکل زیر می باشد:

که در آن

B اسپلاینها دستگاهی از توابع اسپلاین هستند که از آنها کلیه توابع اسپلاین دیگر می توانند با تشکیل ترکیبهای خطی بدست آیند. چون این اسپلاینها یک پایه برای فضاهای اسپلاینهای خاص فراهم می کنند آنها را B اسپلاین می نامند. به محض معلوم بودن گره ها B اسپلاینها به وسیله روابط بازگشتی به راحتی قابل تولید هستند. همچنین B اسپلاینها می توانند تعمیم پیدا کنند.
B-اسپلاینهای درجه صفر را با نمایش می دهیم. اندیس همه اعداد صحیح را اختیار می کند. نمودار زیر شکل ظاهری را نشان می دهد:

نقاط پر رنگ روی نمودار ما را به این راهنمایی می کند که تعریف کنیم
تعریف رسمی به صورت زیر است:
اگر
در غیر این صورت
این B اسپلاینها یک دنباله نا متناهی تشکیل می دهند.
( در اینجا مجموعه همه اعداد صحیح, مثبت, منفی یا صفر را نمایش می دهد.)
حال در دنباله ای از لمها خواص مهم خانواده می گوییم.
لم 1 اگر آنگاه
لم 2 فرض کنید . اگر , آنگاه
لم 3 داریم
لم 4 به ازای هر
لم 5 به ازای

وقتی , معادله برای تمام ها به جز برقرار است.حال به مساله اصلی مورد نظر برمی گردیم و مساله مدل را یک مساله کمی کلی تر اختیار می کنیم یعنی

برای اینکه توابع پایه ای دو مشتق پیوسته داشته باشند, فقط توابع
B- اسپلاین را با در نظر می گیریم. برای راحتی اختیار می کنیم
. همچنین از گره ها به عنوان نقاط هم محلی استفاده می کنیم. فرض کنید تعداد توابع پایه ای مورد استفاده (و تعداد ضرایبی که باید تعیین شوند) باشد. باید مجموعاً شرط برای تعیین ضریب وجود داشته باشد. چون دو شرط مرزی وجود دارد یعنی

ملاحظه می کنیم که باید شرط هم محلی داشته باشیم:

این شرایط ما را به تعریف زیر هدایت می کنند

گره های که در بازه قرار دارند عبارتند از این گره ها نقاط هم محلی هستند. برخی گره های خارج بازه برای تعریف B- اسپلاینهای مورد نیاز خواهند بود. ترتیب گره ها در شکل زیر نشان داده شده اند:

B- اسپلاینهای مکعبی مورد نیاز ما آنهایی هستند که بر روی متحد با صفر نیستند. آنها هستند. از این رو به ازای قرار می دهیم . چون گره ها متساوی الفاصله هستند, توابع می توانند از یک تک B- اسپلاین که با نمایش داده می شود و به صورت زیر تعریف می گردد, به دست آیند.
بر روی {1و2-}
(21) بر روی{0و1-}
بر روی{2و0}
در جاهی دیگر
سپس به راحتی بررسی می کنیم
(22)
نمودار تابع در شکل زیر نشان داده شده است و لزوماً یک اسپلاین مکعبی است.

مشتقهای اول و دوم در محاسبه مورد نیاز هستند. این مشتقها به سهولت از معادلات (20) و (21) به دست می آیند. در یک برنامه کامپیوتری برای اجرای روش هم محلی با استفاده از B- اسپلاینهای مکعبی, باید زیر برنامه هایی برای محاسبه بنویسیم سپس ماتریس عناصر می تواند به طور کارا محاسبه گردد. این یک ماتریس نواری خواهد بود زیرا هر تابع یک محمل کوچک دارد.
فصل سوم – معادلات دیفرانسیل خطی
13 در اینجا دستگاههای معادله دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت را در نظر می گیریم. فرض می شود که دستگاهها خود مستقل باشند. به این معنا که متغیر مستقل به طور صریح ظاهر نمی شود چنین دستگاهی دارای شکل زیر است:

با نماد گذاری بردار ماتریسی این دستگاه به صورت ساده

در می آید که در آن

مقادیر ویژه و بردارهای ویژه
حال می خواهیم این دستگاه را با یک برادار به شکل
که یک بردار ثابت است حل کنیم. با قرار دادن این جواب آزمایشی در معادله (2) به دست می آوریم.

بنابراین اگر
آنگاه تابع برداری در حقیقت یک جواب معادله (2) است.
قضیه 1 اگر یک مقدار ویژه ماتریس و اگر یک بردار ویژه متناظر با آن باشد آنگ

اه یک جواب معادله است.
این قضیه به این نکته دلالت دارد که معادله دیفرانسیل
اطلاعاتی از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه را در بر خواهد داشت.
قضیه 2 اگر ماتریس یک مجموعه مستقل خطی از بردارهای ویژه
داشته باشد, آنگاه فضای جواب معادله
یک پایه با دارد.
اثبات: مجموعه مستقل خطی است زیرا

به ازای منجر می شود. برای اثبات اینکه مجموعه مورد سؤال, فضای جواب را پدید می آورد, فرض کنید که یک جواب دلخواه باشد. به عنوان عنصری از یا , بردار اولیه یک ترکیب خطی از
است یعنی

تعریف می کنیم پس

بنابراین جوابهای معادله دیفرانسیل هستند و هر دو مقدار اولیه یکسان را دارا می باشند. بنابر قضیه یکتایی برای مسأله مقدار اولیه نتیجه می گیریم که یا به عبارت دیگر

اگر خاصیت ذکر شده در قضیه 2 را دارا باشد آنگاه یک ماتریس نامنفرد که ستونهایش بردارهای هستند, وجود دارد. معادلات
برای , در نماد ماتریسی به شکل

می باشد که در آن یک ماتریس قطری و دارای مقادیر
بر روی قطر می باشد. تغییر متغیرهای (وابسته) توصیف شده توسط آ
را در نظر بگیرید. چون نامنفرد است می توانیم آ را از به دست آوریم. حال آ دارای خاصیت زیر است:

بنابراین معادله دیفرانسیل بر حسب آ بسیار ساده تر از معادله دیفرانسیل بر حسب می باشد, زیرا یک ماتریس قطری است. تک تک معادلات در دستگاه آ نامربوط هستند و می توانند به طور جداگانه حل شوند.
مثال 1 مسأله مقدار اولیه را وقتی که

حل کنید.
حل: ماتریس به صورت

است. و ترمینال آن چند جمله ای مشخصه است.

صفرهای این چند جمله ای مقادیر ویژه هستند و عبارتند از
برای هر کدام از اینها یک بردار ویژه با حل به دست می آوریم. با قرار دادن این بردارها به عنوان ستونهای یک ماتریس , به دست می آوریم.

سپس پیدا می کنیم

اگر , آنگاه مسأله مقدار اولیه بر حسب آ برابر است که در آن

از اینرو داریم

و جواب عبارت آن عبارت است از

چون جواب متناظر برای عبارت است از

نمای ماتریسی
بک روش رسمی زیبا برای حل دستگاه وجود دارد که البته تا زمانی که مایل نیستیم جوابهای عددی را محاسبه می کنیم لازم نیست به مقادیر ویژه رجوع کنیم.
تعریف 1 اگر یک ماتریس مربعی باشد قرار می دهیم

این تعریف از سری استاندارد زیر با جایگذاری یک ماتریس به جای متغیر مختلط به دست می آید

برای بررسی اینکه سری همگرا است, یک نرم دلخواه در اختیار می کنیم و از ماتریس طبیعی متناظر برای ماتریسهای استفاده می کنیم. انتهای سری ما می توانید به صورت زیر تخمین زده شود:

این آخرین عبارت انتهایی سری نمایی معمولی است وقتی که . بنابراین انتهای سری برای وقتی که به صفر همگرا می گردد. ( در این استدلال کامل بودن فضای ماتریسهای با نرم داده شده به عنوان معلوم فرض می شود.)
اگر یک متغیر حقیقی باشد آنگاه و تعریف ما نتیجه می دهد

با مشتق گیری سری نسبت به و ساده کردن نتیجه, خواهیم داشت:

قضیه 3 جواب مسأله مقدار اولیه

از قبل تعیین شده
به صورت است.
اثبات: از فرمول با , فوراً نتیجه می گیریم.

ماتریسهای قطری و قطری شدنی
برای استفاده از نتیجه قبلی در عمل, لازم است که نمای ماتریسی به روش کارایی محاسبه شود. با حالتی شروع می کنیم که در آن یک ماتریس قطری می باشد. اگر آنگاه
که به آسانی بررسی می شود از اینرو برای یک چنین ماتریس ای داریم

در این حالت خاص, جواب معادله دیفرانسیل دارای مؤلفه های زیر است

این تحلیل حالتی را که در آن قطری نیست اما قطری شدنی است, در بر می گیرد. این جمله قطری شدنی به این معنا ست که مشابه یک ماتریس قطری باشد یا به عبارت دیگر به ازای یک ماتریس قطری و یک ماتریس نامنفرد . اگر این درست باشد, تغییر متغیر
معادله دیفرانسیل را به تغییر می دهد, همان طور که در معادله (5) نشان داده شد. شرط اولیه به
تبدیل می شود و جواب عبارت است از

لینک کمکی